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Concepts-clés et théorie¶
RAPPEL 1 :¶
Soient $A\in M_{m \times n}(\mathbb{R})$ et $X = \begin{pmatrix} x_1 \; x_2 \;\cdots \; x_n\end{pmatrix}^T,$ où $x_1,\ldots,x_n$ sont des inconnues réelles. Alors l'ensemble des solutions du système linéaire $AX=0$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n.$
PROPOSITION 1 :¶
Soient $A$ et $X$ comme ci-dessus. Alors la dimension de l'espace des solutions du système $AX=0$ est égale au nombre de variable(s) libre(s) dans une forme échelonnée de $A.$
PROPOSITION 2 :¶
Soient $A$ et $X$ comme ci-dessus. Pour trouver une base de l'espace des solutions du système $AX=b,$ on pose successivement une des variables libre égale à $1$ et toutes les autres égales à $0.$
EXERCICE 1¶
Dimension maximale de l'espace des solutions
Soit une matrice $A$ à $4$ lignes et $6$ colonnes non nulles. Quelle est la dimension maximale de l'espace des solutions du système $AX = 0$ ?
ch4_6ex1()
EXERCICE 2¶
Soit la matrice $A$ avec les coefficients suivants :
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 1 & 1 \\ -3 & -8 & -13 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 2 & 6 & 12 & 8 & 6 \end{pmatrix}$$
A l'aide de sa forme échelonnée (donnée ci-dessous), indiquer la dimension de l'espace des solutions du système homogène $AX = 0$.
$$A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
ch4_6ex2()
EXERCICE 3¶
Base de l'espace des solutions
A l'aide de de l'énoncé et de la réponse de l'exercice 2 et de la proposition 2, donnez une base de l'espace des solutions du système homogène $AX = 0$.
# Entrez les vecteurs qui formeront une base de la solution
# Par exemple : [[1, 2], [3, 4]]
base = []
ch4_6ex3(base)